3. Шар и конус имеют равные объемы. Высота конуса 4. Чему равен радиус шара, если он совпадает по величине с радиусом основания конуса: a) 1; б) 2; в) 3; г) 4?

Пусть $$R$$ - радиус шара, $$V_{шара}$$ - объем шара. Пусть $$r$$ - радиус основания конуса, $$h$$ - высота конуса, $$V_{конуса}$$ - объем конуса. По условию, $$V_{шара} = V_{конуса}$$, $$h = 4$$, $$R = r$$. Объем шара: $$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$$. Объем конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$. Тогда: $$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$ $$4R^3 = r^2 h$$ Так как $$R = r$$ и $$h = 4$$, то: $$4R^3 = R^2 \cdot 4$$ $$R^3 = R^2$$ $$R^3 - R^2 = 0$$ $$R^2(R - 1) = 0$$ Так как $$R
eq 0$$, то $$R - 1 = 0$$, следовательно, $$R = 1$$. Ответ: a) 1.