6. Расстояние между пунктами А и Б по реке — 24 км. Катер проплыл от пункта А до пункта Б и вернулся обратно, затратив на весь путь 3,5 часа. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если скорость течения реки 2 км/ч. Ответ:

Давай решим эту задачу по порядку. Пусть x - собственная скорость катера. Тогда скорость по течению x+2, а против течения x-2. Время, затраченное на путь по течению 24/(x+2), а против течения 24/(x-2). Всего затрачено 3.5 часа. Составим уравнение: \[\frac{24}{x+2} + \frac{24}{x-2} = 3.5\] \[\frac{24(x-2) + 24(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 3.5\] \[\frac{24x - 48 + 24x + 48}{x^2 - 4} = 3.5\] \[\frac{48x}{x^2 - 4} = 3.5\] \[48x = 3.5(x^2 - 4)\] \[48x = 3.5x^2 - 14\] \[3.5x^2 - 48x - 14 = 0\] \[7x^2 - 96x - 28 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-96)^2 - 4(7)(-28) = 9216 + 784 = 10000\] \[x = \frac{96 \pm \sqrt{10000}}{14} = \frac{96 \pm 100}{14}\] \[x_1 = \frac{96 + 100}{14} = \frac{196}{14} = 14\] \[x_2 = \frac{96 - 100}{14} = \frac{-4}{14}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому x=14.

Ответ: 14