Расстояние между пунктами А и В по реке равно 40 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт А. К моменту возвраще- ния лодки в пункт А плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \(v\) - скорость лодки в неподвижной воде.

Плот проплыл 15 км со скоростью течения реки, равной 3 км/ч. Время, которое плот был в пути, составляет \(\frac{15}{3} = 5\) часов.

Лодка была в пути \(5 - 2 = 3\) часа.

Пусть \(t_1\) - время, которое лодка плыла из А в В, а \(t_2\) - время, которое лодка плыла из В в А. Тогда \(t_1 + t_2 = 3\).

Расстояние от А до В равно 40 км. Когда лодка плывет из А в В, ее скорость равна \(v + 3\), а когда плывет из В в А, ее скорость равна \(v - 3\).

Тогда:

\[t_1 = \frac{40}{v + 3}\] \[t_2 = \frac{40}{v - 3}\]

Подставим в уравнение \(t_1 + t_2 = 3\):

\[\frac{40}{v + 3} + \frac{40}{v - 3} = 3\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{40(v - 3) + 40(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 3\] \[\frac{40v - 120 + 40v + 120}{v^2 - 9} = 3\] \[\frac{80v}{v^2 - 9} = 3\] \[80v = 3(v^2 - 9)\] \[80v = 3v^2 - 27\] \[3v^2 - 80v - 27 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 6400 + 324 = 6724\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82\)

\[v_1 = \frac{80 + 82}{2 \cdot 3} = \frac{162}{6} = 27\] \[v_2 = \frac{80 - 82}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 27\).

Ответ: 27