Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 40 описана около окружности. Найдите длину этой окружности.

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны, и каждая из них равна полусумме оснований: $$b = \frac{a+c}{2}$$, где *a* и *c* - основания трапеции, *b* - боковая сторона. В нашем случае, *a* = 10 и *c* = 40, поэтому: $$b = \frac{10+40}{2} = \frac{50}{2} = 25$$. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. Чтобы найти радиус окружности, воспользуемся формулой для высоты равнобедренной трапеции, описанной около окружности: $$h = \sqrt{bc} = 2r$$, где *b* и *c* - основания трапеции, а *r* - радиус окружности. Тогда радиус окружности равен: $$r = \frac{\sqrt{ac}}{2} = \frac{\sqrt{10 \cdot 40}}{2} = \frac{\sqrt{400}}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. Длина окружности радиуса *r* вычисляется по формуле: $$C = 2 \pi r$$. В нашем случае, *r* = 10, поэтому: $$C = 2 \pi \cdot 10 = 20 \pi$$. Ответ: $$20\pi$$