4. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 24 описана около окружности. Найдите длину этой окружности.

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания трапеции *a* = 10 и *b* = 24. Тогда сумма боковых сторон равна *a + b* = 10 + 24 = 34. Поскольку трапеция равнобедренная, каждая боковая сторона равна 34 / 2 = 17. Высота трапеции (h) является диаметром вписанной окружности. Её можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть большего основания равна \(\frac{b - a}{2} = \frac{24 - 10}{2} = \frac{14}{2} = 7\). По теореме Пифагора: \[h^2 + 7^2 = 17^2\] \[h^2 = 17^2 - 7^2 = 289 - 49 = 240\] \[h = \sqrt{240} = \sqrt{16 * 15} = 4 \sqrt{15}\] Таким образом, диаметр окружности равен \(4 \sqrt{15}\), а радиус равен \(2 \sqrt{15}\). Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r = 2 \pi (2 \sqrt{15}) = 4 \pi \sqrt{15}\). Ответ: Длина окружности равна \(4 \pi \sqrt{15}\).