140. Разделите число 172 на три части х, у и z так, чтобы x:y=11:6, ay: z = 5:\frac{1}{6}.

Дано: $$x:y = 11:6$$ и $$y:z = 5:\frac{1}{6}$$

Перепишем второе отношение как $$y:z = 5:\frac{1}{6} = 5:\frac{1}{6} = 30:1$$.

Теперь у нас есть $$x:y = 11:6$$ и $$y:z = 30:1$$.

Чтобы найти отношение x:y:z, нужно привести отношение к общему значению y. Для этого умножим первое отношение на 5, а второе на 6:

$$x:y = 11 \cdot 5 : 6 \cdot 5 = 55:30$$ $$y:z = 30 \cdot 6 : 1 \cdot 6 = 30:6$$

Теперь у нас есть $$x:y:z = 55:30:6$$.

Сумма всех частей равна 172. Пусть k - коэффициент пропорциональности. Тогда:

$$55k + 30k + 6k = 172$$

$$91k = 172$$

$$k = \frac{172}{91} = \frac{4 \cdot 43}{7 \cdot 13} = \frac{172}{91}$$

Теперь найдем x, y и z:

• $$x = 55k = 55 \times \frac{172}{91} = \frac{9460}{91}$$
• $$y = 30k = 30 \times \frac{172}{91} = \frac{5160}{91}$$
• $$z = 6k = 6 \times \frac{172}{91} = \frac{1032}{91}$$

Проверим, что их сумма равна 172:

$$\frac{9460}{91} + \frac{5160}{91} + \frac{1032}{91} = \frac{9460 + 5160 + 1032}{91} = \frac{15652}{91} = 172$$

Ответ: x = $$ \frac{9460}{91} $$, y = $$ \frac{5160}{91} $$, z = $$ \frac{1032}{91} $$.