Разложите на множители x³-8y³ +2x²y-4xy².

Решение:

Нужно разложить на множители выражение: \( x^3 - 8y^3 + 2x^2y - 4xy^2 \).

Сгруппируем слагаемые:

\( (x^3 - 8y^3) + (2x^2y - 4xy^2) \)

Применим формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) для первой скобки, где \( a=x \) и \( b=2y \):

\( x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \)

Вынесем общий множитель \( 2xy \) из второй скобки:

\( 2x^2y - 4xy^2 = 2xy(x - 2y) \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

\( (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy(x - 2y) \)

Вынесем общий множитель \( (x - 2y) \) за скобки:

\( (x - 2y) [ (x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy ] \)

Упростим выражение во второй скобке:

\( x^2 + 2xy + 4y^2 + 2xy = x^2 + 4xy + 4y^2 \)

Заметим, что \( x^2 + 4xy + 4y^2 \) является полным квадратом суммы \( (x + 2y)^2 \).

Таким образом, окончательное разложение на множители:

\( (x - 2y)(x + 2y)^2 \)

Ответ: \( (x - 2y)(x + 2y)^2 \)