Решение задачи 1: Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 5 см, а плоский угол при вершине 60°. Найдите площадь основания, объем и площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о правильных пирамидах и тригонометрии. 1. **Площадь основания:** Так как пирамида правильная четырехугольная, то в основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Плоский угол при вершине равен 60°, значит, половина этого угла равна 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Обозначим высоту пирамиды как $$h$$. Тогда $$\sin{30°} = \frac{a/2}{5}$$, откуда $$a/2 = 5 \cdot \frac{1}{2}$$, и $$a = 5$$ см. Площадь основания $$S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25$$ см$$^2$$. 2. **Высота пирамиды и объем:** $$\cos{30°} = \frac{h}{5}$$, откуда $$h = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$ см. Объем пирамиды $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{125\sqrt{3}}{6}$$ см$$^3$$. 3. **Площадь боковой поверхности:** Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников. Найдем площадь одного такого треугольника. Высоту боковой грани (апофему) обозначим $$l$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. $$\sin{\alpha} = \frac{2.5}{5} = 0.5$$, следовательно $$\alpha = 30^circ$$. Тогда апофема равна $$l = \sqrt{5^2 - 2.5^2} = \sqrt{25-6.25} = \sqrt{18.75} = 2.5\sqrt{3}$$. Площадь одного бокового треугольника равна $$S_{бок.тр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.5\sqrt{3} = 6.25\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = 4 \cdot S_{бок.тр.} = 4 \cdot 6.25\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$$ см$$^2$$. **Ответ:** Площадь основания: **25 см$$^2$$**, Объем: **$$\frac{125\sqrt{3}}{6}$$ см$$^3$$**, Площадь боковой поверхности: **$$25\sqrt{3}$$ см$$^2$$**.