Решение задачи 3: Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса, б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°.

1. **Радиус основания:** Угол при вершине осевого сечения равен 120°, значит, половина этого угла равна 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса. Тогда, радиус можно найти из $$\tan{60^{\circ}} = \frac{r}{h}$$ где h - высота конуса. $$r = h \cdot \tan{60^{\circ}} = 6\sqrt{3}$$ см. 2. **Образующая конуса:** Образующую конуса $$l$$ найдем по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12$$ см. 3. **Площадь боковой поверхности конуса:** $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\pi\sqrt{3}$$ см$$^2$$. 4. **Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие:** Площадь сечения равна $$S = \frac{1}{2} l^2 \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin{30^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = 36$$ см$$^2$$. **Ответ:** Площадь боковой поверхности: **$$72\pi\sqrt{3}$$ см$$^2$$**, Площадь сечения: **36 см$$^2$$**.