Решение задачи 3: Расстояние между речными пристанями А и В равно 24 км. Катер прошёл от пристани А к пристани В и вернулся обратно, затратив на весь путь 2 ч 42 мин. Найди скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Преобразуем время в часы: 2 ч 42 мин = $$2 + \frac{42}{60} = 2 + \frac{7}{10} = \frac{27}{10}$$ часов. Пусть $$x$$ - скорость катера в стоячей воде (км/ч). Тогда скорость катера по течению равна $$x + 2$$ км/ч, а против течения $$x - 2$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{24}{x+2}$$ часов, а против течения - $$\frac{24}{x-2}$$ часов. Составим уравнение: $$\frac{24}{x+2} + \frac{24}{x-2} = \frac{27}{10}$$ Умножим обе части уравнения на $$10(x+2)(x-2)$$: $$24 \cdot 10(x-2) + 24 \cdot 10(x+2) = 27(x+2)(x-2)$$ $$240(x-2) + 240(x+2) = 27(x^2 - 4)$$ $$240x - 480 + 240x + 480 = 27x^2 - 108$$ $$480x = 27x^2 - 108$$ $$27x^2 - 480x - 108 = 0$$ Разделим на 3: $$9x^2 - 160x - 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-160)^2 - 4(9)(-36) = 25600 + 1296 = 26896$$. Тогда $$\sqrt{D} = 164$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18$$ $$x_2 = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. **Ответ:** 18 км/ч