7. Решить иррациональное уравнение: √10 - x² + √x² + 3 = 5

Решим иррациональное уравнение:

$$\sqrt{10 - x^2} + \sqrt{x^2 + 3} = 5$$

Выразим один из корней:

$$\sqrt{10 - x^2} = 5 - \sqrt{x^2 + 3}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{10 - x^2})^2 = (5 - \sqrt{x^2 + 3})^2 $$ $$ 10 - x^2 = 25 - 10\sqrt{x^2 + 3} + x^2 + 3 $$

Упростим:

$$ 10 - x^2 = 28 + x^2 - 10\sqrt{x^2 + 3} $$

Перенесем все члены, кроме корня, в одну сторону:

$$ 10\sqrt{x^2 + 3} = 2x^2 + 18 $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ 5\sqrt{x^2 + 3} = x^2 + 9 $$

Возведем обе части уравнения в квадрат снова:

$$ (5\sqrt{x^2 + 3})^2 = (x^2 + 9)^2 $$ $$ 25(x^2 + 3) = x^4 + 18x^2 + 81 $$ $$ 25x^2 + 75 = x^4 + 18x^2 + 81 $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x^4 - 7x^2 + 6 = 0 $$

Заменим $$t = x^2$$:

$$ t^2 - 7t + 6 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$ D = (-7)^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6 $$ $$ t_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1 $$

Вернемся к x:

$$ x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} $$ $$ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 $$

Проверим полученные корни:

• x = √6: $$\sqrt{10 - 6} + \sqrt{6 + 3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$$ (верно)
• x = -√6: $$\sqrt{10 - 6} + \sqrt{6 + 3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$$ (верно)
• x = 1: $$\sqrt{10 - 1} + \sqrt{1 + 3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$$ (верно)
• x = -1: $$\sqrt{10 - 1} + \sqrt{1 + 3} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$$ (верно)

Ответ: $$x = \pm \sqrt{6}, \pm 1$$