Решить систему уравнений: a) { 2x + 3|y| = 5; 3|x| - 2y = 1.

Решение:

Это система с модулями. Будем рассматривать случаи:

1. Случай 1: \(x \ge 0, y \ge 0\). Система принимает вид:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]
   Решая эту систему методом подстановки или сложения, получим: \(x = \frac{13}{13} = 1\), \(y = \frac{7}{13}\). Оба значения положительны, так что это решение подходит.
2. Случай 2: \(x < 0, y \ge 0\). Система принимает вид:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) + 3y = 5 \\ 3(-x) - 2y = 1 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x + 3y = 5 \\ -3x - 2y = 1 \end{cases} \]
   Решая, получаем: \(x = -1\), \(y = \frac{7}{3}\). Оба значения соответствуют условиям случая.
3. Случай 3: \(x \ge 0, y < 0\). Система принимает вид:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3(-y) = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases} \]
   Решая, получаем: \(x = -1\), \(y = -\frac{7}{3}\). Так как \(x < 0\), это решение не подходит для данного случая.
4. Случай 4: \(x < 0, y < 0\). Система принимает вид:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) + 3(-y) = 5 \\ 3(-x) - 2y = 1 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x - 3y = 5 \\ -3x - 2y = 1 \end{cases} \]
   Решая, получаем: \(x = -1\), \(y = -\frac{7}{3}\). Оба значения соответствуют условиям случая.

Ответ: \(x=1, y=\frac{7}{13}\); \(x=-1, y=\frac{7}{3}\); \(x=-1, y=-\frac{7}{3}\).