Решить систему уравнений: ж) { 4x + 6y = 2; 2|x| + 3|y| = 4.

Решение:

Первое уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: \(2x + 3y = 1\).

Теперь рассмотрим четыре случая, зависящие от знаков x и y.

1. Случай 1: \(x \ge 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 2x + 3y = 4 \end{cases} \]
   Эти уравнения противоречат друг другу (\(1
   eq 4\)). Решений нет.
2. Случай 2: \(x < 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 2(-x) + 3y = 4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ -2x + 3y = 4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((2x + 3y) + (-2x + 3y) = 1 + 4 \Rightarrow 6y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{6}\). Подставим \(y=\frac{5}{6}\) в первое уравнение: \(2x + 3(\frac{5}{6}) = 1 \Rightarrow 2x + \frac{5}{2} = 1 \Rightarrow 2x = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x < 0, y ≥ 0\). Решение: (-3/4, 5/6).
3. Случай 3: \(x \ge 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 2x + 3(-y) = 4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((2x + 3y) + (2x - 3y) = 1 + 4 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4}\). Подставим \(x=\frac{5}{4}\) в первое уравнение: \(2(\frac{5}{4}) + 3y = 1 \Rightarrow \frac{5}{2} + 3y = 1 \Rightarrow 3y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x ≥ 0, y < 0\). Решение: (5/4, -1/2).
4. Случай 4: \(x < 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 2(-x) + 3(-y) = 4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ -2x - 3y = 4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((2x + 3y) + (-2x - 3y) = 1 + 4 \Rightarrow 0 = 5\). Это невозможно. Решений нет.

Ответ: (-3/4, 5/6); (5/4, -1/2).