Решить систему уравнений: В) { 2|x| + 3y = 8; 2x - |y| = -4.

Решение:

Рассмотрим четыре случая, зависящие от знаков x и y.

1. Случай 1: \(x \ge 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 2x - y = -4 \end{cases} \]
   Вычтем второе уравнение из первого: \((2x + 3y) - (2x - y) = 8 - (-4) \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3\). Подставим \(y=3\) во второе уравнение: \(2x - 3 = -4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0.5\). Это решение не подходит, так как \(x < 0\), а мы рассматривали \(x \ge 0\).
2. Случай 2: \(x < 0, y \ge 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) + 3y = 8 \\ 2x - y = -4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x + 3y = 8 \\ 2x - y = -4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((-2x + 3y) + (2x - y) = 8 + (-4) \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2\). Подставим \(y=2\) во второе уравнение: \(2x - 2 = -4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x < 0, y \ge 0\). Решение: (-1, 2).
3. Случай 3: \(x \ge 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2x + 3(-y) = 8 \\ 2x - (-y) = -4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 2x + y = -4 \end{cases} \]
   Вычтем второе уравнение из первого: \((2x - 3y) - (2x + y) = 8 - (-4) \Rightarrow -4y = 12 \Rightarrow y = -3\). Подставим \(y=-3\) во второе уравнение: \(2x + (-3) = -4 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0.5\). Это решение не подходит, так как \(x < 0\), а мы рассматривали \(x \ge 0\).
4. Случай 4: \(x < 0, y < 0\). Система:
   • \[ \begin{cases} 2(-x) + 3(-y) = 8 \\ 2x - (-y) = -4 \end{cases} \]
   • \[ \begin{cases} -2x - 3y = 8 \\ 2x + y = -4 \end{cases} \]
   Сложим уравнения: \((-2x - 3y) + (2x + y) = 8 + (-4) \Rightarrow -2y = 4 \Rightarrow y = -2\). Подставим \(y=-2\) во второе уравнение: \(2x + (-2) = -4 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\). Оба значения соответствуют условиям случая \(x < 0, y < 0\). Решение: (-1, -2).

Ответ: (-1, 2); (-1, -2).