5. Решить уравнение cos 5x cos3x = 1 - sin 5x sin 3x

Решим уравнение:

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение

   Перенесем все члены в левую часть:

   \[\cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x = 1\]

2. Шаг 2: Используем формулу косинуса разности

   \[\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\]

   В нашем случае \(A = 5x\) и \(B = 3x\), поэтому:

   \[\cos(5x - 3x) = 1\]

3. Шаг 3: Упрощаем уравнение

   \[\cos(2x) = 1\]

4. Шаг 4: Решаем уравнение cos(2x) = 1

   Общее решение для \(\cos y = 1\) есть \(y = 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

   Следовательно,

   \[2x = 2\pi n\]

5. Шаг 5: Находим x

   \[x = \pi n\]

   где \(n\) - целое число.

Ответ: \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)