2. Вычислить: cosa, sin 2a, если sin a = 9 и < α <π 13 2

Дано: \(\sin \alpha = \frac{9}{13}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Найти: \(\cos \alpha\), \(\sin 2\alpha\)

1. Шаг 1: Находим cos α

   Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   Тогда \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)

   \[\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{9}{13}\right)^2 = 1 - \frac{81}{169} = \frac{169 - 81}{169} = \frac{88}{169}\]

   Так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\alpha\) находится во второй четверти, где \(\cos \alpha < 0\). Поэтому:

   \[\cos \alpha = -\sqrt{\frac{88}{169}} = -\frac{\sqrt{88}}{13} = -\frac{2\sqrt{22}}{13}\]

2. Шаг 2: Находим sin 2α

   Используем формулу двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)

   \[\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{9}{13} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{22}}{13}\right) = -\frac{36\sqrt{22}}{169}\]

Ответ: \(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{22}}{13}\), \(\sin 2\alpha = -\frac{36\sqrt{22}}{169}\)