5) Решить уравнение: x+2 x+3 x+5 ++= = 0 x-1 x+1 1-x2

Ответ:

Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что 1 - x² = -(x² - 1) = -(x - 1)(x + 1). Тогда общий знаменатель (x - 1)(x + 1).

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель:

[(x + 2)(x + 1) + (x + 3)(x - 1) - (x + 5)] / [(x - 1)(x + 1)] = 0

Раскроем скобки в числителе:

(x² + x + 2x + 2 + x² - x + 3x - 3 - x - 5) / [(x - 1)(x + 1)] = 0

(2x² + 4x - 6) / [(x - 1)(x + 1)] = 0

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

2x² + 4x - 6 = 0

Разделим уравнение на 2:

x² + 2x - 3 = 0

Найдем дискриминант по формуле D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -3:

D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле x = (-b ± √D) / (2a):

x₁ = (-2 + √16) / (2 * 1) = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-2 - √16) / (2 * 1) = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Проверим корни на ОДЗ (область допустимых значений): x ≠ 1, x ≠ -1

x₁ = 1 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.

x₂ = -3 подходит.

Ответ: x = -3