6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 4cos²x = 1; 6) 3sin²x + sinx-4 = 0; B) tg² x + 2 tgx −3 = 0; г) 2sin²x-3cosx = 0;.

6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

a) $$4cos^2x = 1$$;

$$cos^2x = \frac{1}{4}$$

$$cosx = \pm \frac{1}{2}$$

$$x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

б) $$3sin^2x + sinx-4 = 0$$;

Пусть $$sinx = t$$, тогда

$$3t^2 + t - 4 = 0$$

$$D = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49$$

$$t_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$t_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$

$$sinx = 1$$ или $$sinx = -\frac{4}{3}$$ (не имеет смысла, т.к. $$-1 \le sinx \le 1$$)

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$

B) $$tg^2 x + 2 tgx -3 = 0$$;

Пусть $$tgx = t$$, тогда

$$t^2 + 2t - 3 = 0$$

$$D = 4 + 4 \cdot 3 = 16$$

$$t_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

$$t_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

$$tgx = 1$$ или $$tgx = -3$$

$$x = arctg(1) + \pi n, n \in Z$$ или $$x = arctg(-3) + \pi n, n \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ или $$x = -arctg(3) + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ или $$x = -arctg(3) + \pi n, n \in Z$$

г) $$2sin^2x-3cosx = 0$$;.

$$2(1 - cos^2x) - 3cosx = 0$$

$$2 - 2cos^2x - 3cosx = 0$$

$$2cos^2x + 3cosx - 2 = 0$$

Пусть $$cosx = t$$, тогда

$$2t^2 + 3t - 2 = 0$$

$$D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$$

$$t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

$$cosx = \frac{1}{2}$$ или $$cosx = -2$$ (не имеет смысла, т.к. $$-1 \le cosx \le 1$$)

$$x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in Z$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$