6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) cos²x = 1; б) 4sin²x + sinx – 5 = 0; B) 4tg²x + 2tgx-2 = 0; г) -2sin²x + 3cosx = 0;.

6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

a) $$cos^2x = 1$$

$$cosx = \pm 1$$

$$x = \pi n$$, где $$n \in Z$$.

б) $$4sin^2x + sinx - 5 = 0$$

Пусть $$sinx = t$$, тогда $$4t^2 + t - 5 = 0$$.

$$D = 1 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81$$

$$t_1 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

$$t_2 = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$$

$$sinx = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.

$$sinx = -\frac{5}{4}$$ - решений нет, т.к. $$-1 \le sinx \le 1$$.

в) $$4tg^2x + 2tgx - 2 = 0$$

$$2tg^2x + tgx - 1 = 0$$

Пусть $$tgx = t$$, тогда $$2t^2 + t - 1 = 0$$.

$$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9$$

$$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

$$tgx = \frac{1}{2}$$

$$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi n$$, где $$n \in Z$$.

$$tgx = -1$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in Z$$.

г) $$-2sin^2x + 3cosx = 0$$

$$-2(1 - cos^2x) + 3cosx = 0$$

$$-2 + 2cos^2x + 3cosx = 0$$

$$2cos^2x + 3cosx - 2 = 0$$

Пусть $$cosx = t$$, тогда $$2t^2 + 3t - 2 = 0$$.

$$D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$$

$$t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

$$cosx = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.

$$cosx = -2$$ - решений нет, т.к. $$-1 \le cosx \le 1$$.

Ответ: a) $$x = \pi n$$, где $$n \in Z$$; б) $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$; в) $$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi n$$, где $$n \in Z$$ и $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in Z$$; г) $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.