6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin²x = 1; 6) 2cos²x + cosx – 3 = 0; B) 3tg²x + tgx – 2 = 0; r) 2cos²x + 3sinx = 0;.

Ответ:

а) 2sin²x = 1

sin²x = \frac{1}{2}

sinx = ±\frac{\sqrt{2}}{2}

• x = \frac{\pi}{4} + \pi k
• x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k ∈ Z

б) 2cos²x + cosx - 3 = 0

Пусть cosx = t, тогда 2t² + t - 3 = 0

D = 1 + 24 = 25

t₁ = \frac{-1 + 5}{4} = 1, t₂ = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}

cosx = 1 → x = 2πk

cosx = -\frac{3}{2} (нет решений, так как |cosx| ≤ 1)

в) 3tg²x + tgx - 2 = 0

Пусть tgx = t, тогда 3t² + t - 2 = 0

D = 1 + 24 = 25

t₁ = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}, t₂ = \frac{-1 - 5}{6} = -1

• tgx = \frac{2}{3} → x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k
• tgx = -1 → x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k ∈ Z

г) 2cos²x + 3sinx = 0

2(1 - sin²x) + 3sinx = 0

2 - 2sin²x + 3sinx = 0

2sin²x - 3sinx - 2 = 0

Пусть sinx = t, тогда 2t² - 3t - 2 = 0

D = 9 + 16 = 25

t₁ = \frac{3 + 5}{4} = 2, t₂ = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}

sinx = 2 (нет решений, так как |sinx| ≤ 1)

sinx = -\frac{1}{2} → x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k ∈ Z

Ответ: a) x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k ∈ Z; б) x = 2πk, k ∈ Z; в) x = arctg(\frac{2}{3}) + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k ∈ Z; г) x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k ∈ Z