2. Решить уравнения: А) $$36 \cdot 216^{3x+1} = 1$$ Б) $$3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x = 3$$ В) $$3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0$$

А) $$36 \cdot 216^{3x+1} = 1$$

Представим числа 36 и 216 как степени числа 6:

$$6^2 \cdot (6^3)^{3x+1} = 1$$

$$6^2 \cdot 6^{9x+3} = 1$$

$$6^{9x+5} = 6^0$$

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$$9x + 5 = 0$$

$$9x = -5$$

$$x = -\frac{5}{9}$$

Ответ: $$x = -\frac{5}{9}$$

Б) $$3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x = 3$$

Преобразуем уравнение:

$$3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 3 = 0$$

Пусть $$y = 3^x$$, тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 - 8y - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$$

$$y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

$$y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Вернемся к замене:

$$3^x = 3$$ или $$3^x = -\frac{1}{3}$$

Первое уравнение имеет решение $$x = 1$$. Второе уравнение не имеет решений, так как $$3^x > 0$$ для любого x.

Ответ: $$x = 1$$

В) $$3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$9^x$$ (что равносильно $$(3^x)^2$$, и не равно нулю):

$$3 \cdot (\frac{25}{9})^x - 8 \cdot (\frac{15}{9})^x + 5 = 0$$

$$3 \cdot (\frac{5}{3})^{2x} - 8 \cdot (\frac{5}{3})^x + 5 = 0$$

Пусть $$y = (\frac{5}{3})^x$$, тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 - 8y + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$

$$y_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

$$y_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Вернемся к замене:

$$(\frac{5}{3})^x = \frac{5}{3}$$ или $$(\frac{5}{3})^x = 1$$

Первое уравнение имеет решение $$x = 1$$. Второе уравнение имеет решение $$x = 0$$.

Ответ: $$x = 0, x = 1$$