6. Решите дробно-рациональное уравнение: 3 x² + 4x = 15 x²-4x = 4 x

6. Решите дробно-рациональное уравнение:

$$\frac{3}{x^2 + 4x} - \frac{15}{x^2 - 4x} = \frac{4}{x}$$

1. Определим область допустимых значений: $$x ≠ 0$$ и $$x ≠ ±4$$
2. Приведем к общему знаменателю:$$\frac{3(x-4) - 15(x+4)}{(x^2 + 4x)(x-4)} = \frac{4}{x}$$
3. $$\frac{3x-12 - 15x - 60}{x(x + 4)(x-4)} = \frac{4}{x}$$
4. $$\frac{-12x - 72}{x(x + 4)(x-4)} = \frac{4}{x}$$
5. Умножим обе части на x: $$\frac{-12x - 72}{(x + 4)(x-4)} = 4$$
6. $$-12x - 72 = 4(x^2 - 16)$$
7. $$-12x - 72 = 4x^2 - 64$$
8. $$4x^2 + 12x + 8 = 0$$
9. $$x^2 + 3x + 2 = 0$$
10. Найдем корни квадратного уравнения: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -2$$
11. Оба корня входят в область допустимых значений.

Ответ: x = -1, x = -2