Решите графически систему уравнений: a) $$ \begin{cases} x - y = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases} $$

Привет! Разберем эту систему графически.

Система уравнений:

• \[ \begin{cases} x - y = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \]

Шаг 1: Преобразуем каждое уравнение в вид $$ y = kx + b $$, чтобы легко построить график.

1. Первое уравнение: $$ x - y = 0 $$
   Перенесем $$ y $$ в правую часть: $$ x = y $$
   Или, что то же самое: $$ y = x $$.
   Это уравнение прямой, проходящей через начало координат $$(0;0)$$ с угловым коэффициентом $$ k = 1 $$ (под углом 45 градусов).
2. Второе уравнение: $$ 3x - y = 4 $$
   Перенесем $$ 3x $$ в правую часть: $$ -y = -3x + 4 $$
   Умножим обе части на -1: $$ y = 3x - 4 $$.
   Это уравнение прямой. Чтобы построить ее, найдем две точки.
• Если $$ x = 0 $$, то $$ y = 3(0) - 4 = -4 $$. Точка $$(0; -4)$$.
• Если $$ y = 0 $$, то $$ 0 = 3x - 4 \rightarrow 3x = 4 \rightarrow x = \frac{4}{3} $$. Точка $$ (\frac{4}{3}; 0) $$.

Шаг 2: Построим графики этих двух прямых на одной координатной плоскости.

График прямой $$ y = x $$ проходит через точки $$(0;0)$$, $$(1;1)$$, $$(2;2)$$.

График прямой $$ y = 3x - 4 $$ проходит через точки $$(0;-4)$$ и $$ (\frac{4}{3}; 0) $$.

Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков.

Визуально или алгебраически, точка, где графики пересекаются, является решением системы.

Алгебраический способ проверки:

Приравняем правые части уравнений, так как $$ y $$ в обоих случаях равен:

\[ x = 3x - 4 \]

\[ 4 = 3x - x \]

\[ 4 = 2x \]

\[ x = 2 \]

Теперь найдем $$ y $$, подставив $$ x = 2 $$ в любое из уравнений (возьмем $$ y = x $$):

\[ y = 2 \]

Значит, точка пересечения - это $$ (2; 2) $$.

Проверка:

• В первом уравнении: $$ 2 - 2 = 0 $$ (верно).
• Во втором уравнении: $$ 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 $$ (верно).

Ответ: (2; 2)