Решите неравенства: а) log₀.₅(2x + 3) < log₀.₅(x + 1)

Решение:

а) \( \log_{0.5}(2x + 3) < \log_{0.5}(x + 1) \)

1. ОДЗ: \( 2x + 3 > 0 → 2x > -3 → x > -3/2 \) и \( x + 1 > 0 → x > -1 \). Общая ОДЗ: \( x > -1 \).
2. Так как основание логарифма \( 0 < 0.5 < 1 \), функция является убывающей. При переходе от логарифмов к числам знак неравенства меняется на противоположный.
3. \( 2x + 3 > x + 1 \).
4. \( 2x - x > 1 - 3 \).
5. \( x > -2 \).
6. Теперь объединим полученное решение \( x > -2 \) с ОДЗ \( x > -1 \).
7. Общий интервал: \( x > -1 \).

Ответ: \( (-1; +∞) \).