Решите уравнения: а) log₈(4-2x) = 2; б) log₁(4-3x) = -1; в) log₃(5-x) + log₃(-1-x) = 3

Решение:

а) \( \log_8(4-2x) = 2 \)

1. ОДЗ: \( 4-2x > 0 → 4 > 2x → x < 2 \).
2. Перейдём к показательной форме: \( 4-2x = 8^2 \).
3. \( 4-2x = 64 \).
4. \( -2x = 60 \).
5. \( x = -30 \).
6. Проверяем по ОДЗ: \( -30 < 2 \). Условие выполнено.

б) \( \log_1(4-3x) = -1 \)

Примечание: основание логарифма равно 1. Логарифм с основанием 1 не определён. Предполагаем, что основание логарифма равно 3.

б) \( \log_3(4-3x) = -1 \) (исправлено основание)

1. ОДЗ: \( 4-3x > 0 → 4 > 3x → x < 4/3 \).
2. Перейдём к показательной форме: \( 4-3x = 3^{-1} \).
3. \( 4-3x = 1/3 \).
4. \( -3x = 1/3 - 4 \).
5. \( -3x = 1/3 - 12/3 \).
6. \( -3x = -11/3 \).
7. \( x = 11/9 \).
8. Проверяем по ОДЗ: \( 11/9 = 1.22... \), \( 4/3 = 1.33... \). \( 11/9 < 4/3 \). Условие выполнено.

в) \( \log_3(5-x) + \log_3(-1-x) = 3 \)

1. ОДЗ: \( 5-x > 0 → x < 5 \) и \( -1-x > 0 → -1 > x → x < -1 \). Общая ОДЗ: \( x < -1 \).
2. Используем свойство логарифма: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \).
   \( \log_3((5-x)(-1-x)) = 3 \).
3. \( \log_3((5-x)(-1-x)) = 3 \).
4. \( (5-x)(-1-x) = 3^3 \).
5. \( -5 - 5x + x + x^2 = 27 \).
6. \( x^2 - 4x - 5 = 27 \).
7. \( x^2 - 4x - 32 = 0 \).
8. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \).
9. \( \sqrt{D} = 12 \).
10. \( x_1 = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
11. \( x_2 = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
12. Проверяем по ОДЗ: \( x < -1 \).
13. \( x_1 = 8 \) не удовлетворяет ОДЗ.
14. \( x_2 = -4 \) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: а) -30; б) 11/9; в) -4.