Решите неравенства: а) $x^2+4x\ge0$; б) $(x-1)(x+2)<0$; в) $-2x^2+4x-5\le0$; г) $x(x-2)(x+1)(x-1)^2<0$; д) $\frac{x^2-4x-12}{(x+2)^2}\le0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенства: а) $x^2+4x\ge0$; б) $(x-1)(x+2)<0$; в) $-2x^2+4x-5\le0$; г) $x(x-2)(x+1)(x-1)^2<0$; д)…$ Фото задания

Решите неравенства: а) $x^2+4x\ge0$; б) $(x-1)(x+2)<0$; в) $-2x^2+4x-5\le0$; г) $x(x-2)(x+1)(x-1)^2<0$; д) $\frac{x^2-4x-12}{(x+2)^2}\le0$.

Accepted Answer

а) Разложим на множители: $x(x+4)\ge0$. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями, включая корни: $x\in(-\infty;-4]\cup[0;+\\infty)$.
б) Нули множителей: $-2$ и $1$. Произведение отрицательно между ними: $x\in(-2;1)$.
в) Дискриминант равен $D=4^2-4\cdot(-2)\cdot(-5)=-24<0$. Парабола направлена ветвями вниз, поэтому выражение всегда отрицательно: $x\in\mathbb R$.
г) Множитель $(x-1)^2$ положителен при $x\ne1$ и равен нулю при $x=1$. Знак произведения вне этой точки определяется выражением $x(x-2)(x+1)$, которое отрицательно на $(-;-1)$ и $(0;2)$. Точки $0$ и $2$ не входят; точку $1$ также исключаем из-за строгого неравенства. Получаем $x\in(-\infty;-1)\cup(0;1)\cup(1;2)$.
д) Область определения: $x\ne-2$. Числитель раскладывается: $x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$. При $x\ne-2$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби определяется числителем. Из $(x-6)(x+2)\le0$ получаем промежуток $[-2;6]$, но $-2$ исключён из области определения. Значит, $x\in(-2;6]$.

Ответ: а) $(-;-4]\cup[0;+)$; б) $(-2;1)$; в) $\mathbb R$; г) $(-;-1)\cup(0;1)\cup(1;2)$; д) $(-2;6]$.

Решите неравенства: а) \(x^2+4x\ge0\); б) \((x-1)(x+2)<0\); в) \(-2x^2+4x-5\le0\); г) \(x(x-2)(x+1)(x-1)^2<0\); д) \(\frac{x^2-4x-12}{(x+2)^2}\le0\).

Ответ: