4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-5x-3≥0; б) x² + 6x + 12>0; в) х²-16≤0.

a) 2x² - 5x - 3 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 5x - 3 = 0:

D = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49

x₁ = (5 - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -2 / 4 = -0.5

x₂ = (5 + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3

Так как коэффициент при x² положительный (2 > 0), парабола направлена вверх. Тогда, решением неравенства будет:

x ∈ (-∞; -0.5] ∪ [3; +∞)

б) x² + 6x + 12 > 0

Найдем корни квадратного уравнения x² + 6x + 12 = 0:

D = 6² - 4 * 1 * 12 = 36 - 48 = -12

Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола направлена вверх (коэффициент при x² положительный), следовательно, неравенство верно для всех x:

x ∈ (-∞; +∞)

в) x² - 16 ≤ 0

Разложим на множители: (x - 4)(x + 4) ≤ 0

Найдем нули функции:

x - 4 = 0 => x = 4

x + 4 = 0 => x = -4

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

 +    -   +
---(-4)---(4)--->

Выбираем интервал, где функция ≤ 0:

x ∈ [-4; 4]

Ответ: a) x ∈ (-∞; -0.5] ∪ [3; +∞); б) x ∈ (-∞; +∞); в) x ∈ [-4; 4]