3. Решите неравенства: a) 2x²-5x-3≥ 0; 6) x² + 6x + 12 > 0; в) х²-16 ≤0.

a) $$2x^2 - 5x - 3 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$2x^2 - 5x - 3 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+                                         +
<-----(-0.5)------(3)----->
      +       -        +

Решением неравенства являются интервалы, где функция больше или равна нулю:

$$x \in (-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -0.5] \cup [3; +\infty)$$

б) $$x^2 + 6x + 12 > 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12$$

Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней. График функции $$y = x^2 + 6x + 12$$ является параболой, ветви которой направлены вверх, и она не пересекает ось x. Следовательно, функция всегда больше нуля.

Ответ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$

в) $$x^2 - 16 \le 0$$

Разложим на множители:

$$(x - 4)(x + 4) \le 0$$

Найдем нули функции:

$$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$ $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+                                         +
<-----(-4)------(4)----->
      +       -        +

Решением неравенства является интервал, где функция меньше или равна нулю:

$$x \in [-4; 4]$$

Ответ: $$x \in [-4; 4]$$