4) решите неравенства: a) (x+5)(x-3)<0 5) x²-8x+167,0 x²-3x-10 b) √x²+3x+4>x+2 2) √x²-x-21

Решим неравенства:

а) $$(x+5)(x-3) < 0$$

Найдем корни: $$x_1 = -5, x_2 = 3$$

Решением будут интервалы между корнями: $$-5 < x < 3$$

Ответ: $$-5 < x < 3$$

---

б) $$\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10} \ge 0$$

Разложим на множители числитель и знаменатель:

$$\frac{(x-4)^2}{(x-5)(x+2)} \ge 0$$

Корни числителя: $$x=4$$

Корни знаменателя: $$x=5, x=-2$$

Решением неравенства будут интервалы: $$(-\infty; -2) \cup \{4\} \cup (5; +\infty)$$

Ответ: $$(-\infty; -2) \cup \{4\} \cup (5; +\infty)$$

---

в) $$\sqrt{x^2+3x+4} > x+2$$

Возведем обе части в квадрат: $$x^2+3x+4 > (x+2)^2$$

$$x^2+3x+4 > x^2 + 4x + 4$$

$$3x > 4x \Rightarrow x < 0$$

Однако, необходимо учесть условие, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$x^2+3x+4 \ge 0$$

$$D = 9-16 = -7 < 0$$, значит, выражение всегда положительно.

Кроме того, должно выполняться условие $$x+2$$ не должно быть положительным $$x>-2$$

Ответ: $$x > -2$$

---

г) $$\sqrt{x^2-x-2} \le x-1$$

Возведем обе части в квадрат: $$x^2 - x - 2 \le (x-1)^2$$

$$x^2 - x - 2 \le x^2 - 2x + 1$$

$$x \le 3$$

Необходимо учесть условие, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$x^2-x-2 \ge 0$$

$$(x-2)(x+1) \ge 0 \Rightarrow x \le -1 \cup x \ge 2$$

А также, $$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$$

Ответ: $$x = [2; 3]$$