3 решите уравнения: a) 9x³ +18x² -x-2=0 8√3x+47-3=√x-3 β) x²+3x-18+4√x2+3x-6=0 2) √48x297 = x²-4

Решим уравнения:

a) $$9x^3 + 18x^2 - x - 2 = 0$$

Разложим на множители: $$9x^2(x+2) - (x+2) = 0$$

$$(9x^2 - 1)(x+2) = 0$$

$$(3x-1)(3x+1)(x+2) = 0$$

$$3x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3}$$

$$3x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3}$$

$$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{1}{3}, x_3 = -2$$

---

б) $$\sqrt{3x+4}-3=\sqrt{x-3}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{3x+4}-3)^2=(\sqrt{x-3})^2$$

$$3x+4 - 6\sqrt{3x+4} + 9 = x-3$$

$$2x+16 = 6\sqrt{3x+4}$$

Разделим обе части на 2: $$x+8 = 3\sqrt{3x+4}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(x+8)^2 = (3\sqrt{3x+4})^2$$

$$x^2 + 16x + 64 = 9(3x+4)$$

$$x^2 + 16x + 64 = 27x + 36$$

$$x^2 - 11x + 28 = 0$$

$$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}$$

$$x_1 = \frac{11 + 3}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{11 - 3}{2} = 4$$

Проверим найденные корни:

При $$x=7$$: $$\sqrt{3(7)+4} - 3 = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$$

$$\sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2$$

Корень $$x=7$$ подходит.

При $$x=4$$: $$\sqrt{3(4)+4} - 3 = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1$$

$$\sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$$

Корень $$x=4$$ подходит.

Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = 4$$

---

в) $$x^2+3x-18+4\sqrt{x^2+3x-6}=0$$

Пусть $$t = x^2 + 3x$$. Тогда $$t - 18 + 4\sqrt{t-6} = 0$$

$$4\sqrt{t-6} = 18 - t$$

Возведем обе части в квадрат:

$$16(t-6) = (18-t)^2$$

$$16t - 96 = 324 - 36t + t^2$$

$$t^2 - 52t + 420 = 0$$

$$t = \frac{52 \pm \sqrt{52^2 - 4(420)}}{2} = \frac{52 \pm \sqrt{2704 - 1680}}{2} = \frac{52 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{52 \pm 32}{2}$$

$$t_1 = \frac{52 + 32}{2} = 42$$

$$t_2 = \frac{52 - 32}{2} = 10$$

Вернемся к исходной переменной:

Случай 1: $$x^2 + 3x = 42$$

$$x^2 + 3x - 42 = 0$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 168}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{177}}{2}$$

Случай 2: $$x^2 + 3x = 10$$

$$x^2 + 3x - 10 = 0$$

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$$

$$x_3 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

$$x_4 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$$

Проверка подстановкой в исходное уравнение покажет, что не все корни подходят.

Ответ: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{177}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{177}}{2}, x_3 = 2, x_4 = -5$$

---

г) $$\sqrt{18x^2 - 97} = x^2 - 4$$

Возведем обе части в квадрат: $$18x^2 - 97 = (x^2 - 4)^2$$

$$18x^2 - 97 = x^4 - 8x^2 + 16$$

$$x^4 - 26x^2 + 113 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$. Тогда $$t^2 - 26t + 113 = 0$$

$$t = \frac{26 \pm \sqrt{26^2 - 4(113)}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 452}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{224}}{2} = \frac{26 \pm 4\sqrt{14}}{2} = 13 \pm 2\sqrt{14}$$

$$x^2 = 13 \pm 2\sqrt{14}$$

$$x = \pm \sqrt{13 \pm 2\sqrt{14}}$$

Ответ: $$x = \pm \sqrt{13 + 2\sqrt{14}}, x = \pm \sqrt{13 - 2\sqrt{14}}$$