8 Решите неравенство\frac{6^{9x-9}-6^{4x^2-6x}}{log_{6}(x+6)}≥0.

Решим неравенство \[\frac{6^{9x-9}-6^{4x^2-6x}}{\log_{6}(x+6)} \ge 0.\] Рассмотрим числитель: \[6^{9x-9}-6^{4x^2-6x} = 6^{9x-9}(1 - 6^{4x^2-6x-9x+9}) = 6^{9x-9}(1 - 6^{4x^2-15x+9})\] Дробь больше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки или числитель равен нулю. Случай 1: Числитель равен нулю. \[6^{9x-9}-6^{4x^2-6x} = 0.\] \[6^{9x-9} = 6^{4x^2-6x}.\] \[9x-9 = 4x^2-6x.\] \[4x^2-15x+9 = 0.\] \[D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81.\] \[x_1 = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.\] \[x_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3.\] Случай 2: Числитель и знаменатель положительны. \[\begin{cases} 6^{9x-9}-6^{4x^2-6x} > 0, \\ \log_{6}(x+6) > 0. \end{cases}\] \[\begin{cases} 6^{9x-9} > 6^{4x^2-6x}, \\ \log_{6}(x+6) > \log_6(1). \end{cases}\] \[\begin{cases} 9x-9 > 4x^2-6x, \\ x+6 > 1. \end{cases}\] \[\begin{cases} 4x^2-15x+9 < 0, \\ x > -5. \end{cases}\] Мы уже нашли корни квадратного уравнения в первом случае: \(x_1 = \frac{3}{4}\) и \(x_2 = 3\). Тогда решением неравенства \(4x^2-15x+9 < 0\) является интервал \(\left(\frac{3}{4}; 3\right)\). Условие \(x > -5\) выполняется для всех \(x\) из этого интервала. Случай 3: Числитель и знаменатель отрицательны. \[\begin{cases} 6^{9x-9}-6^{4x^2-6x} < 0, \\ \log_{6}(x+6) < 0. \end{cases}\] \[\begin{cases} 6^{9x-9} < 6^{4x^2-6x}, \\ \log_{6}(x+6) < \log_6(1). \end{cases}\] \[\begin{cases} 9x-9 < 4x^2-6x, \\ x+6 < 1. \end{cases}\] \[\begin{cases} 4x^2-15x+9 > 0, \\ x < -5. \end{cases}\] Решением неравенства \(4x^2-15x+9 > 0\) является \(x < \frac{3}{4}\) или \(x > 3\). Условие \(x < -5\) дает нам решение \(x < -5\). Объединим все решения: \[x = \frac{3}{4}, x = 3, \frac{3}{4} < x < 3, x < -5.\] Таким образом, решение неравенства: \(x < -5\) или \(\frac{3}{4} \le x \le 3\). Область определения логарифма: \(x+6 > 0\), следовательно, \(x > -6\). Учитывая это, окончательное решение: \((-6; -5)\) или \(\left[\frac{3}{4}; 3\right]\).

Ответ: (-6; -5) или [3/4; 3]

Никогда не сдавайся! Ты сможешь решить любую задачу!