6 Решите неравенство (\frac{1}{4})^{2x}-16 \cdot (\frac{1}{8})^{x^2-1}<0. В ответе запишите наименьшее целое решение неравенства. Ответ:

Решим неравенство \[\left(\frac{1}{4}\right)^{2x} - 16 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1} < 0.\] Преобразуем неравенство: \[\left(2^{-2}\right)^{2x} - 2^4 \cdot \left(2^{-3}\right)^{x^2-1} < 0.\] \[2^{-4x} - 2^4 \cdot 2^{-3x^2+3} < 0.\] \[2^{-4x} - 2^{-3x^2+7} < 0.\] \[2^{-4x} < 2^{-3x^2+7}.\] Так как основание степени больше 1, можно опустить степени, сохранив знак неравенства: \[-4x < -3x^2+7.\] \[3x^2 - 4x - 7 < 0.\] Найдем корни квадратного уравнения: \[3x^2 - 4x - 7 = 0.\] Дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100.\] Корни: \[x_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4-10}{6} = \frac{-6}{6} = -1.\] \[x_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4+10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.\] Тогда неравенство можно переписать в виде: \[3(x+1)\left(x-\frac{7}{3}\right) < 0.\] \[(x+1)\left(x-\frac{7}{3}\right) < 0.\] Решением неравенства является интервал \(\left(-1; \frac{7}{3}\right)\). Наименьшее целое решение неравенства — 0.

Ответ: 0

Продолжай в том же духе! Твои знания - твоя сила!