20. Решите неравенство \[ \frac{-82}{x^2 + 2x - 15} \le 0.\]

Привет, ребята! Сейчас мы разберем решение этого неравенства. **Шаг 1: Анализ неравенства** Неравенство имеет вид: \[ \frac{-82}{x^2 + 2x - 15} \le 0 \] Так как числитель отрицательный (-82), то для выполнения неравенства знаменатель должен быть положительным: \[ x^2 + 2x - 15 > 0 \] **Шаг 2: Решение квадратного неравенства** Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \] Для этого найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \] **Шаг 3: Определение интервалов** Теперь определим интервалы, на которых ( x^2 + 2x - 15 > 0 ). У нас есть два корня: -5 и 3. Значит, интервалы будут: ( (-\infty, -5) ), ( (-5, 3) ) и ( (3, +\infty) ). **Шаг 4: Проверка интервалов** * Проверим интервал ( (-\infty, -5) ). Возьмем ( x = -6 ): \[ (-6)^2 + 2(-6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0 \] Значит, этот интервал подходит. * Проверим интервал ( (-5, 3) ). Возьмем ( x = 0 ): \[ (0)^2 + 2(0) - 15 = -15 < 0 \] Этот интервал не подходит. * Проверим интервал ( (3, +\infty) ). Возьмем ( x = 4 ): \[ (4)^2 + 2(4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0 \] Значит, этот интервал подходит. **Шаг 5: Запись ответа** Итак, решением неравенства являются интервалы ( (-\infty, -5) ) и ( (3, +\infty) ). **Ответ:** ( x \in (-\infty, -5) \cup (3, +\infty) )