Решите неравенство: (2х - 5)(x + 3) ≥ 0

Задание №8. Решите неравенство:

Нам нужно решить неравенство $$(2x - 5)(x + 3) \ge 0$$. Это неравенство решается методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $$(2x - 5)(x + 3) = 0$$.
• $$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$$
• $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$
2. Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, -3]$$, $$[-3, 2.5]$$, $$[2.5, \infty)$$.
3. Определим знак выражения $$(2x - 5)(x + 3)$$ в каждом интервале:
   • Возьмём пробную точку из интервала $$(-\infty, -3)$$, например, $$x = -4$$. Подставим в выражение: $$(2(-4) - 5)(-4 + 3) = (-8 - 5)(-1) = (-13)(-1) = 13$$. Знак «+».
   • Возьмём пробную точку из интервала $$(-3, 2.5)$$, например, $$x = 0$$. Подставим в выражение: $$(2(0) - 5)(0 + 3) = (-5)(3) = -15$$. Знак «–».
   • Возьмём пробную точку из интервала $$(2.5, \infty)$$, например, $$x = 3$$. Подставим в выражение: $$(2(3) - 5)(3 + 3) = (6 - 5)(6) = (1)(6) = 6$$. Знак «+».
4. Нам нужно найти, где выражение больше или равно нулю (знак «+»). Это интервалы $$(-\infty, -3]$$ и $$[2.5, \infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty, -3] \cup [2.5, \infty)$$.