В арифметической прогрессии a₃ = 17, a₁₀ = 32. Найдите: а) Разность прогрессии б) Сумму первых 15 членов

Задание №7. Решите задачу:

У нас есть арифметическая прогрессия, где известны два члена: $$a_3 = 17$$ и $$a_{10} = 32$$. Нам нужно найти разность прогрессии ($$d$$) и сумму первых 15 членов ($$S_{15}$$).

а) Разность прогрессии

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + d(n-1)$$.

Запишем эту формулу для известных нам членов:

• Для $$a_{10}$$: $$32 = a_1 + d(10-1) \implies 32 = a_1 + 9d$$
• Для $$a_3$$: $$17 = a_1 + d(3-1) \implies 17 = a_1 + 2d$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($$a_1$$ и $$d$$):

1. $$a_1 + 9d = 32$$
2. $$a_1 + 2d = 17$$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $$d$$:

$$(a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = 32 - 17$$

$$7d = 15$$

$$d = \frac{15}{7}$$

б) Сумму первых 15 членов

Сначала найдём первый член прогрессии ($$a_1$$), используя одно из уравнений системы, например, второе:

$$a_1 + 2d = 17$$

$$a_1 + 2 \cdot \frac{15}{7} = 17$$

$$a_1 + \frac{30}{7} = 17$$

$$a_1 = 17 - \frac{30}{7} = \frac{119}{7} - \frac{30}{7} = \frac{89}{7}$$

Теперь найдём сумму первых 15 членов ($$S_{15}$$) по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Подставим наши значения ($$n=15$$, $$a_1 = \frac{89}{7}$$, $$d = \frac{15}{7}$$):

$$S_{15} = \frac{2 \cdot \frac{89}{7} + \frac{15}{7}(15-1)}{2} \cdot 15$$

$$S_{15} = \frac{\frac{178}{7} + \frac{15}{7} \cdot 14}{2} \cdot 15$$

$$S_{15} = \frac{\frac{178}{7} + \frac{210}{7}}{2} \cdot 15$$

$$S_{15} = \frac{\frac{388}{7}}{2} \cdot 15$$

$$S_{15} = \frac{388}{7 \cdot 2} \cdot 15$$

$$S_{15} = \frac{194}{7} \cdot 15 = \frac{2910}{7}$$

Ответ: а) Разность прогрессии $$d = \frac{15}{7}$$; б) Сумма первых 15 членов $$S_{15} = \frac{2910}{7}$$.