20. Решите неравенство (х²-3x-18)(x²-13x+42)≥0.

Ответ: x принадлежит (-бесконечности; -3] U [6; 7] U [бесконечности)

• Разложим оба квадратных трехчлена на множители, решив уравнения:
• \(x^2 - 3x - 18 = 0\). Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\). Корни: \(x_1 = \frac{3 + 9}{2} = 6\), \(x_2 = \frac{3 - 9}{2} = -3\). Таким образом, \(x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)\).
• \(x^2 - 13x + 42 = 0\). Дискриминант \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1\). Корни: \(x_3 = \frac{13 + 1}{2} = 7\), \(x_4 = \frac{13 - 1}{2} = 6\). Таким образом, \(x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)\).
• Исходное неравенство теперь имеет вид: \[(x - 6)(x + 3)(x - 6)(x - 7) \ge 0\] \[(x + 3)(x - 6)^2(x - 7) \ge 0\]
• Определим нули функции: \(x = -3, x = 6, x = 7\).
• Метод интервалов:

        +             -             +             +
--------------------|-----------------|-------------|--------------------
                   -3                6            7

• Решением являются интервалы, где функция больше или равна нулю: \[x \in (-\infty; -3] \cup [6; 6] \cup [7; +\infty)\] или \[x \in (-\infty; -3] \cup \{6\} \cup [7; +\infty)\]

Ответ: x принадлежит (-бесконечности; -3] U {6} U [7; +бесконечности)