Решите неравенство (t² + 5t)² – 100t + 84 ≤ 20t².

Решим неравенство (t² + 5t)² – 100t + 84 ≤ 20t².

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть: (t² + 5t)² – 20t² – 100t + 84 ≤ 0.
2. Раскроем скобки: t⁴ + 10t³ + 25t² – 20t² – 100t + 84 ≤ 0.
3. Упростим выражение: t⁴ + 10t³ + 5t² – 100t + 84 ≤ 0.
4. Заметим, что при t = 2 выражение обращается в 0: 16 + 80 + 20 - 200 + 84 = 0. Следовательно, t-2 является множителем многочлена.
5. Аналогично, при t = -6 выражение обращается в 0: 1296 - 2160 + 180 + 600 + 84 = 0. Следовательно, t+6 является множителем многочлена.
6. Выполним деление многочлена на (t-2)(t+6) = t² + 4t - 12.
7. $$t^4 + 10t^3 + 5t^2 - 100t + 84 = (t^2 + 4t - 12)(t^2 + 6t - 7)$$.
8. Раскладываем t² + 6t - 7 на множители, t₁ = 1, t₂ = -7. t² + 6t - 7 = (t-1)(t+7).
9. Получаем неравенство: (t-2)(t+6)(t-1)(t+7) ≤ 0.
10. Решаем методом интервалов. Отмечаем на числовой прямой точки -7, -6, 1, 2.
11. Рассматриваем интервалы:
12. (-∞; -7]: выражение положительно.
13. [-7; -6]: выражение отрицательно.
14. [-6; 1]: выражение положительно.
15. [1; 2]: выражение отрицательно.
16. [2; +∞): выражение положительно.

Ответ: [-7; -6] ∪ [1; 2]