Решите неравенство. В-1: 1) ∛(x + 2) < 2; 2) √(5x + 6) ≤ −x; 3) √(3x + 4) > x; 4) √(x² + 3x + 2) ≥ 3 − x; 5) √((x + 2)(x − 5)) ≤ 8 − x.

1) Кубический корень возрастает на всей числовой прямой, поэтому можно возвести обе части в куб:

∛(x + 2) < 2 ⇔ x + 2 < 8 ⇔ x < 6.

Ответ: x ∈ (−∞; 6).

2) Требуется 5x + 6 ≥ 0 и −x ≥ 0, то есть x ≥ −6/5 и x ≤ 0. После возведения в квадрат:

5x + 6 ≤ x² ⇔ x² − 5x − 6 ≥ 0 ⇔ (x − 6)(x + 1) ≥ 0.

Отсюда x ≤ −1 или x ≥ 6. Пересечение с [−6/5; 0] даёт [−6/5; −1].

Ответ: x ∈ [−6/5; −1].

3) Область определения: x ≥ −4/3. Если x < 0, неравенство √(3x + 4) > x верно, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При x ≥ 0 обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильно исходному:

3x + 4 > x² ⇔ x² − 3x − 4 < 0 ⇔ (x − 4)(x + 1) < 0.

Это верно при 0 ≤ x < 4. Вместе с отрицательными x из области определения получаем x ∈ [−4/3; 4).

Ответ: x ∈ [−4/3; 4).

4) Область определения: (x + 1)(x + 2) ≥ 0, то есть x ≤ −2 или x ≥ −1. Для x ≥ 3 правая часть 3 − x неположительна, а корень неотрицателен; неравенство выполняется. При x < 3 правая часть положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

x² + 3x + 2 ≥ (3 − x)² ⇔ 9x − 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7/9.

С учётом области определения и случая x ≥ 3 получаем x ≥ 7/9.

Ответ: x ∈ [7/9; +∞).

5) Область определения: (x + 2)(x − 5) ≥ 0, то есть x ≤ −2 или x ≥ 5. Правая часть должна быть неотрицательной: 8 − x ≥ 0, значит x ≤ 8. При выполнении этих условий возводим в квадрат:

(x + 2)(x − 5) ≤ (8 − x)² ⇔ x² − 3x − 10 ≤ x² − 16x + 64 ⇔ 13x ≤ 74.

Пересечение условий x ≤ −2 или 5 ≤ x, x ≤ 8 и x ≤ 74/13 даёт (−∞; −2] ∪ [5; 74/13].

Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ [5; 74/13].