Решите неравенство. В-4: 1) ∛(x − 3) < 4; 2) √(x + 4) ≤ −x; 3) √(x + 2) > x; 4) √(2x² + 4x + 2) ≥ 2 − x; 5) √((x + 1)(x − 3)) ≤ 1 − x.

1) Кубический корень возрастает, поэтому ∛(x − 3) < 4 ⇔ x − 3 < 64 ⇔ x < 67.

Ответ: x ∈ (−∞; 67).

2) Подкоренное выражение требует x ≥ −4, а правая часть должна быть неотрицательной: x ≤ 0. Возводим в квадрат на промежутке [−4; 0]:

x + 4 ≤ x² ⇔ x² − x − 4 ≥ 0.

Корни трёхчлена — (1 − √17)/2 и (1 + √17)/2. С учётом [−4; 0] подходит x ≤ (1 − √17)/2.

Ответ: x ∈ [−4; (1 − √17)/2].

3) Область определения: x ≥ −2. При x < 0 неравенство верно автоматически. При x ≥ 0 возводим в квадрат:

x + 2 > x² ⇔ x² − x − 2 < 0 ⇔ (x − 2)(x + 1) < 0.

Получаем 0 ≤ x < 2. Вместе с отрицательными x из области определения:

Ответ: x ∈ [−2; 2).

4) Подкоренное выражение равно 2(x + 1)², поэтому левая часть — √2·|x + 1|. Если x ≥ 2, правая часть неположительна, и неравенство верно. Если x < 2, возводим обе неотрицательные части в квадрат:

2(x + 1)² ≥ (2 − x)² ⇔ x² + 8x − 2 ≥ 0.

Корни равны −4 − 3√2 и −4 + 3√2. Решение этого квадратного неравенства, объединённое со случаем x ≥ 2, даёт:

Ответ: x ∈ (−∞; −4 − 3√2] ∪ [−4 + 3√2; +∞).

5) Подкоренное выражение определено при x ≤ −1 или x ≥ 3. Правая часть неотрицательна при x ≤ 1. При этих условиях возводим в квадрат:

(x + 1)(x − 3) ≤ (1 − x)² ⇔ x² − 2x − 3 ≤ x² − 2x + 1 ⇔ −3 ≤ 1.

Полученное неравенство верно всегда, поэтому остаются только ограничения области определения и правой части: x ≤ −1.

Ответ: x ∈ (−∞; −1].