1. Решите неравенство $$(x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1)$$.

**Решение:** 1. Перенесем все члены неравенства в одну сторону: $$(x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0$$. 2. Вынесем $$(x-1)$$ за скобки: $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$. 3. Найдем нули выражения $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$$: $$x-1 = 0$$ или $$x-1 - \sqrt{2} = 0$$. $$x = 1$$ или $$x = 1 + \sqrt{2}$$. 4. Определим знаки выражения $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$$ на интервалах, образованных нулями: * $$x < 1$$: $$(x-1) < 0$$, $$(x-1-\sqrt{2}) < 0$$, значит $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$$. * $$1 < x < 1+\sqrt{2}$$: $$(x-1) > 0$$, $$(x-1-\sqrt{2}) < 0$$, значит $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$. * $$x > 1+\sqrt{2}$$: $$(x-1) > 0$$, $$(x-1-\sqrt{2}) > 0$$, значит $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$$. 5. Выберем интервал, где $$(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$$. Это интервал $$1 < x < 1+\sqrt{2}$$. **Ответ:** $$x \in (1; 1+\sqrt{2})$$. **Объяснение:** Мы решили неравенство, перенеся все члены в одну сторону, разложив на множители и определив знаки выражения на каждом интервале. Затем мы выбрали интервал, где выражение меньше нуля.