Решите неравенство (3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 \ge 0).

Решим неравенство (3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 \ge 0). Сначала найдем корень уравнения (3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 = 0). Заметим, что (x = \frac{1}{3}) является корнем, так как: \[3(\frac{1}{3})^3 + 2(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) - 1 = 3(\frac{1}{27}) + 2(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = 0\] Значит, можно разделить многочлен на ((x - \frac{1}{3})) или ((3x - 1)). Разделим многочлен (3x^3 + 2x^2 + 2x - 1) на ((3x - 1)): \[\begin{array}{c|cc cc} & x^2 & +x & +1 \\ 3x-1 & 3x^3 & +2x^2 & +2x & -1 \\ & 3x^3 & -x^2 \\ \hline & & 3x^2 & +2x \\ & & 3x^2 & -x \\ \hline & & & 3x & -1 \\ & & & 3x & -1 \\ \hline & & & & 0 \end{array}\] Получаем (3x^3 + 2x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x^2 + x + 1)). Теперь решим неравенство ((3x - 1)(x^2 + x + 1) \ge 0). Квадратный трехчлен (x^2 + x + 1) имеет дискриминант (D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3), который меньше нуля. Значит, (x^2 + x + 1 > 0) для всех x. Таким образом, неравенство сводится к (3x - 1 \ge 0), откуда (3x \ge 1) и (x \ge \frac{1}{3}). Ответ: (x \ge \frac{1}{3}) или ([\frac{1}{3}; +\infty))