Решите неравенство (x^2+6x+9)/(x^2+2x-3) ≥ 0.

Привет! Давай разберемся с этим неравенством.

Неравенство:

\[ \frac{x^2+6x+9}{x^2+2x-3} \geq 0 \]

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: x² + 6x + 9 — это полный квадрат, (x + 3)².

Знаменатель: x² + 2x - 3. Найдем корни квадратного уравнения x² + 2x - 3 = 0. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: x₁ = 1 и x₂ = -3. Значит, знаменатель можно разложить как (x - 1)(x + 3).

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \frac{(x + 3)^2}{(x - 1)(x + 3)} \geq 0 \]

2. Сократим дробь, но помним об ограничениях:

Если x + 3 ≠ 0 (то есть x ≠ -3), то мы можем сократить (x + 3):

\[ \frac{x + 3}{x - 1} \geq 0 \]

Важное замечание: Мы не можем просто сократить и забыть про x = -3. Нам нужно проверить этот корень отдельно. Также, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть x ≠ 1 и x ≠ -3.

3. Решим неравенство методом интервалов:

Нам нужно найти, когда дробь (x + 3)/(x - 1) положительна или равна нулю. Точки, в которых числитель равен нулю, — это x = -3. Точки, в которых знаменатель равен нулю, — это x = 1.

Расставим эти точки на числовой оси:

---(-3)---(1)---

Проверим знаки интервалов:

• x < -3: Возьмем, например, x = -4. (-4 + 3) / (-4 - 1) = (-1) / (-5) = 1/5 > 0. Значит, на этом интервале знак +.
• -3 < x < 1: Возьмем, например, x = 0. (0 + 3) / (0 - 1) = 3 / (-1) = -3 < 0. Значит, на этом интервале знак -.
• x > 1: Возьмем, например, x = 2. (2 + 3) / (2 - 1) = 5 / 1 = 5 > 0. Значит, на этом интервале знак +.

Мы ищем, где дробь ≥ 0. Это интервалы (-∞; -3) и (1; +∞).

4. Учитываем ограничения и особый случай:

• x ≠ 1 (знаменатель не может быть нулем).
• x ≠ -3 (так как мы сокращали на (x+3)).

Теперь вернемся к нашему особому случаю: что происходит при x = -3?

В исходном неравенстве:

\[ \frac{(-3)^2+6(-3)+9}{(-3)^2+2(-3)-3} = \frac{9-18+9}{9-6-3} = \frac{0}{0} \]

Это неопределенность, но помним, что x = -3 делает знаменатель равным нулю, поэтому x = -3 не может быть решением.

Однако, если посмотреть на исходную дробь \(\rvert\) \(\frac{(x + 3)^2}{(x - 1)(x + 3)}\) \(\rvert\), мы видим, что при x = -3 числитель равен 0, а знаменатель равен 0. Это точка, которую нужно исключить.

Итак, наше неравенство (x + 3)/(x - 1) ≥ 0 решается на интервалах (-∞; -3) и (1; +∞). Нам нужно включить случай, когда числитель равен нулю, то есть x = -3.

Но мы должны исключить x = -3, потому что знаменатель становится нулем. А также x = 1.

Снова посмотрим на исходную дробь: \(\rvert\) \(\frac{(x + 3)^2}{(x - 1)(x + 3)}\) \(\rvert\).

Если x = -3, то числитель равен 0, а знаменатель равен 0. Это недопустимо.

Если x = -3, то (x + 3)² = 0. Значит, числитель равен 0. Знаменатель (x - 1)(x + 3) равен 0. Дробь 0/0. Это значит, что x=-3 не является решением.

Давайте пересмотрим метод. Лучше использовать метод интервалов на исходной дроби:

\[ \frac{(x + 3)^2}{(x - 1)(x + 3)} \geq 0 \]

Критические точки: x = -3 (где числитель и знаменатель равны 0) и x = 1 (где знаменатель равен 0).

Расставляем на числовой оси:

----(-3)----(1)----

Тестируем интервалы:

• x < -3: Возьмем x = -4. ((-4+3)²)/((-4-1)(-4+3)) = (-1)²/(-5)(-1) = 1/5 > 0. Знак +.
• -3 < x < 1: Возьмем x = 0. ((0+3)²)/((0-1)(0+3)) = 3²/(-1)(3) = 9/(-3) = -3 < 0. Знак -.
• x > 1: Возьмем x = 2. ((2+3)²)/((2-1)(2+3)) = 5²/ (1)(5) = 25/5 = 5 > 0. Знак +.

Мы ищем, где дробь ≥ 0.

Интервалы, где знак +, это (-∞; -3) и (1; +∞).

Теперь нужно учесть, что x ≠ 1 (знаменатель не может быть нулем).

Что насчет x = -3? В исходном неравенстве, если подставить x = -3, получим 0/0, что неопределенность. Но если посмотреть на (x+3)², то при x = -3 числитель равен 0. А знаменатель (x-1)(x+3) тоже равен 0.

Давай вернемся к сокращенному виду (x + 3)/(x - 1) ≥ 0, но с учетом, что x ≠ -3.

Решения для (x + 3)/(x - 1) ≥ 0 это x ∈ (-∞; -3] ∪ [1; +∞).

Теперь исключаем x = -3 и x = 1.

x ≠ 1.

x ≠ -3.

Значит, решение должно быть:

x ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞).

Проверим еще раз. Если x = -3, то в исходном числителе 0, в знаменателе 0. Это не подходит. Значит x=-3 не решение.

Если x = 1, то знаменатель 0. Не подходит.

Если x > 1, то (x+3)/(x-1) > 0. Например, x=2, (5/1)=5 > 0. Это подходит.

Если x < -3, то (x+3) < 0, (x-1) < 0. (x+3)/(x-1) > 0. Например, x=-4, (-1)/(-5) = 1/5 > 0. Это подходит.

Если -3 < x < 1, то (x+3) > 0, (x-1) < 0. (x+3)/(x-1) < 0. Не подходит.

Ответ: (-∞; -3) ∪ (1; +∞)