Решите уравнение sin 2x = - sin x. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение.

Уравнение:

sin(2x) = -sin(x)

Отрезок:

[3π/2; 3π]

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставляем в наше уравнение:

2sin(x)cos(x) = -sin(x)

2. Переносим все члены в одну сторону:

2sin(x)cos(x) + sin(x) = 0

3. Выносим общий множитель sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) + 1) = 0

4. Приравниваем каждый множитель к нулю:

Случай 1: sin(x) = 0

Это означает, что x = πn, где n — любое целое число.

Случай 2: 2cos(x) + 1 = 0

2cos(x) = -1

cos(x) = -1/2

Корни этого уравнения:

x = 2π/3 + 2πk и x = -2π/3 + 2πk, где k — любое целое число.

5. Отбор корней по заданному отрезку [3π/2; 3π]:

Рассмотрим корни из Случая 1 (x = πn):

• Если n = 1, x = π (не входит в отрезок)
• Если n = 2, x = 2π (не входит в отрезок)
• Если n = 3, x = 3π (входит в отрезок)
• Если n = 4, x = 4π (не входит в отрезок)

Итак, из первой серии корней на отрезке есть x = 3π.

Теперь рассмотрим корни из Случая 2 (x = 2π/3 + 2πk и x = -2π/3 + 2πk):

Под-случай 2.1: x = 2π/3 + 2πk

• Если k = 0, x = 2π/3 (не входит в отрезок)
• Если k = 1, x = 2π/3 + 2π = 8π/3.

Проверим, входит ли 8π/3 в отрезок [3π/2; 3π].

3π/2 = 9π/6

8π/3 = 16π/6

3π = 18π/6

9π/6 ≤ 16π/6 ≤ 18π/6. Да, 8π/3 входит в отрезок.

Под-случай 2.2: x = -2π/3 + 2πk

• Если k = 1, x = -2π/3 + 2π = 4π/3 (не входит в отрезок)
• Если k = 2, x = -2π/3 + 4π = 10π/3.

Проверим, входит ли 10π/3 в отрезок [3π/2; 3π].

10π/3 = 20π/6

3π = 18π/6

20π/6 > 18π/6. Значит, 10π/3 не входит в отрезок.

Окончательный отбор корней:

На отрезке [3π/2; 3π] у нас есть следующие корни:

• x = 3π
• x = 8π/3

Ответ: 3π, 8π/3