306. Решите неравенство: a) 2x² + 13x - 7 > 0; б) -9x² + 12x - 4 < 0; в) 6х2 - 13х + 5 ≤ 0; г) -2x² - 5x + 18 ≤ 0; д) 3x² - 2x > 0; e) 8 - x² < 0.

a) 2x² + 13x - 7 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² + 13x - 7 = 0.

D = 13² - 4 * 2 * (-7) = 169 + 56 = 225

x₁ = (-13 + √225) / (2 * 2) = (-13 + 15) / 4 = 2 / 4 = 0.5

x₂ = (-13 - √225) / (2 * 2) = (-13 - 15) / 4 = -28 / 4 = -7

Поскольку коэффициент при x² положителен (2 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, -7) ∪ (0.5, +∞)

б) -9x² + 12x - 4 < 0

Умножим обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при x² положительным:

9x² - 12x + 4 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 9x² - 12x + 4 = 0.

D = (-12)² - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0

x = 12 / (2 * 9) = 12 / 18 = 2 / 3

Поскольку коэффициент при x² положителен (9 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство > 0 выполняется везде, кроме вершины.

Ответ: x ∈ (-∞, 2/3) ∪ (2/3, +∞)

в) 6x² - 13x + 5 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения 6x² - 13x + 5 = 0.

D = (-13)² - 4 * 6 * 5 = 169 - 120 = 49

x₁ = (13 + √49) / (2 * 6) = (13 + 7) / 12 = 20 / 12 = 5 / 3

x₂ = (13 - √49) / (2 * 6) = (13 - 7) / 12 = 6 / 12 = 0.5

Поскольку коэффициент при x² положителен (6 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство ≤ 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ [0.5, 5/3]

г) -2x² - 5x + 18 ≤ 0

Умножим обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при x² положительным:

2x² + 5x - 18 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² + 5x - 18 = 0.

D = 5² - 4 * 2 * (-18) = 25 + 144 = 169

x₁ = (-5 + √169) / (2 * 2) = (-5 + 13) / 4 = 8 / 4 = 2

x₂ = (-5 - √169) / (2 * 2) = (-5 - 13) / 4 = -18 / 4 = -4.5

Поскольку коэффициент при x² положителен (2 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство ≥ 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, -4.5] ∪ [2, +∞)

д) 3x² - 2x > 0

x(3x - 2) > 0

Найдем корни уравнения x(3x - 2) = 0.

x₁ = 0

3x - 2 = 0

3x = 2

x₂ = 2 / 3

Поскольку коэффициент при x² положителен (3 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, 0) ∪ (2/3, +∞)

e) 8 - x² < 0

-x² + 8 < 0

Умножим обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при x² положительным:

x² - 8 > 0

Найдем корни уравнения x² - 8 = 0.

x² = 8

x₁ = √8 = 2√2

x₂ = -√8 = -2√2

Поскольку коэффициент при x² положителен (1 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, -2√2) ∪ (2√2, +∞)