304. Решите неравенство: a) x² + 2x - 48 < 0; б) 2x² - 7x + 6 > 0; в) -x² + 2x + 15 < 0; г) -5x² + 11x − 6 > 0; д) 4x² - 12х + 9 > 0; e) 25x² + 30x + 9 < 0; ж) -10x² + 9x > 0; з) -2x² + 7x < 0.

Решим данные неравенства.

а) x² + 2x - 48 < 0

Найдем корни квадратного уравнения x² + 2x - 48 = 0:

D = 2² - 4 × 1 × (-48) = 4 + 192 = 196

x₁ = (-2 + √196) / 2 = (-2 + 14) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (-2 - √196) / 2 = (-2 - 14) / 2 = -16 / 2 = -8

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство x² + 2x - 48 < 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (-8, 6)

б) 2x² - 7x + 6 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 7x + 6 = 0:

D = (-7)² - 4 × 2 × 6 = 49 - 48 = 1

x₁ = (7 + √1) / (2 × 2) = (7 + 1) / 4 = 8 / 4 = 2

x₂ = (7 - √1) / (2 × 2) = (7 - 1) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2 = 1.5

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 2x² - 7x + 6 > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, 1.5) ∪ (2, +∞)

в) -x² + 2x + 15 < 0

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным:

x² - 2x - 15 > 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 15 = 0:

D = (-2)² - 4 × 1 × (-15) = 4 + 60 = 64

x₁ = (2 + √64) / 2 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5

x₂ = (2 - √64) / 2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство x² - 2x - 15 > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, -3) ∪ (5, +∞)

г) -5x² + 11x - 6 > 0

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным:

5x² - 11x + 6 < 0

Найдем корни квадратного уравнения 5x² - 11x + 6 = 0:

D = (-11)² - 4 × 5 × 6 = 121 - 120 = 1

x₁ = (11 + √1) / (2 × 5) = (11 + 1) / 10 = 12 / 10 = 6 / 5 = 1.2

x₂ = (11 - √1) / (2 × 5) = (11 - 1) / 10 = 10 / 10 = 1

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 5x² - 11x + 6 < 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (1, 1.2)

д) 4x² - 12x + 9 > 0

Найдем корни квадратного уравнения 4x² - 12x + 9 = 0:

D = (-12)² - 4 × 4 × 9 = 144 - 144 = 0

x = 12 / (2 × 4) = 12 / 8 = 3 / 2 = 1.5

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 4x² - 12x + 9 > 0 выполняется везде, кроме точки x = 1.5.

Ответ: x ∈ (-∞, 1.5) ∪ (1.5, +∞)

е) 25x² + 30x + 9 < 0

Найдем корни квадратного уравнения 25x² + 30x + 9 = 0:

D = (30)² - 4 × 25 × 9 = 900 - 900 = 0

x = -30 / (2 × 25) = -30 / 50 = -3 / 5 = -0.6

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 25x² + 30x + 9 < 0 не выполняется нигде, так как парабола касается оси x в точке x = -0.6.

Ответ: x ∈ ∅

ж) -10x² + 9x > 0

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным:

10x² - 9x < 0

x(10x - 9) < 0

Найдем корни уравнения x(10x - 9) = 0:

x₁ = 0

10x - 9 = 0

10x = 9

x₂ = 9 / 10 = 0.9

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 10x² - 9x < 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (0, 0.9)

з) -2x² + 7x < 0

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным:

2x² - 7x > 0

x(2x - 7) > 0

Найдем корни уравнения x(2x - 7) = 0:

x₁ = 0

2x - 7 = 0

2x = 7

x₂ = 7 / 2 = 3.5

Так как коэффициент при x² положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство 2x² - 7x > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞, 0) ∪ (3.5, +∞)