Решите пример 2a: Вычислить интеграл \(\int_{1}^{y} 5\sqrt{x} dx\)

Для решения интеграла \(\int_{1}^{y} 5\sqrt{x} dx\), сначала найдем первообразную функции \(5\sqrt{x}\). Шаг 1: Представим \(\sqrt{x}\) как \(x^{\frac{1}{2}}\). \(\int 5\sqrt{x} dx = 5 \int x^{\frac{1}{2}} dx\) Шаг 2: Используем правило интегрирования \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n = \frac{1}{2}\). \(5 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 5 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C\) Шаг 3: Вычислим определенный интеграл \(\int_{1}^{y} 5\sqrt{x} dx\), используя найденную первообразную. \(\int_{1}^{y} 5\sqrt{x} dx = \left[\frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{y} = \frac{10}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{10}{3} (1)^{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{10}{3}\) Таким образом, \(\int_{1}^{y} 5\sqrt{x} dx = \frac{10}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{10}{3}\). **Ответ:** \(\frac{10}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{10}{3}\)