Решите пример 2б: Вычислить интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{cos^2 x}\)

Для решения интеграла \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{cos^2 x}\), вспомним, что \(\frac{1}{cos^2 x}\) это производная \(tan x\). Шаг 1: Найдем первообразную функции \(\frac{1}{cos^2 x}\). \(\int \frac{dx}{cos^2 x} = tan x + C\) Шаг 2: Вычислим определенный интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{cos^2 x}\), используя найденную первообразную. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{cos^2 x} = \left[tan x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = tan(\frac{\pi}{3}) - tan(0)\) Шаг 3: Вспомним значения тангенса для \(\frac{\pi}{3}\) и \(0\). \(tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\) и \(tan(0) = 0\) Шаг 4: Подставим значения и вычислим. \(tan(\frac{\pi}{3}) - tan(0) = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}\) Таким образом, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{cos^2 x} = \sqrt{3}\). **Ответ:** \(\sqrt{3}\)