Решите систему: \(\begin{cases}\frac{4x-4y}{x+y}+\frac{3x+3y}{x-y}=13,\\ x^2-y^2=12.\end{cases}\)

Введём обозначения \(a=x+y\) и \(b=x-y\). Из второго уравнения следует \(ab=12\), поэтому \(a\ne0\) и \(b\ne0\). Первое уравнение принимает вид \(\frac{4b}{a}+\frac{3a}{b}=13\).

Положим \(r=\frac{a}{b}\). Тогда \(\frac4r+3r=13\), или \(3r^2-13r+4=0\). Разложение на множители: \((3r-1)(r-4)=0\). Следовательно, \(r=4\) или \(r=\frac13\).

При \(r=4\) имеем \(a=4b\). Вместе с \(ab=12\) это даёт \(4b^2=12\), то есть \(b=\pm\sqrt3\), \(a=\pm4\sqrt3\) с одинаковыми знаками. Тогда \(x=\frac{a+b}{2}=\pm\frac{5\sqrt3}{2}\), \(y=\frac{a-b}{2}=\pm\frac{3\sqrt3}{2}\), с согласованными знаками.

При \(r=\frac13\) имеем \(a=\frac b3\). Из \(ab=12\) получаем \(\frac{b^2}{3}=12\), значит, \(b=\pm6\), \(a=\pm2\) с одинаковыми знаками. Тогда пары равны \((4;-2)\) и \((-4;2)\).

Ответ: \((\frac{5\sqrt3}{2};\frac{3\sqrt3}{2}), (-\frac{5\sqrt3}{2};-\frac{3\sqrt3}{2}), (4;-2), (-4;2)\).