Решите систему: $\begin{cases}\frac{y+1}{y+2}+\frac{y+2}{y+1}=\frac{25}{12},\\ x^2-2xy+y^2=0.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите систему: $\begin{cases}\frac{y+1}{y+2}+\frac{y+2}{y+1}=\frac{25}{12},\\ x^2-2xy+y^2=0.\end{cases}$$ Фото задания

Accepted Answer

Из второго уравнения получаем $(x-y)^2=0$, поэтому $x=y$.

В первом уравнении положим $t=y+1$. Тогда $y+2=t+1$, причём $t\ne0,-1$. Получаем:

$\frac{t}{t+1}+\frac{t+1}{t}=\frac{25}{12}$.

Обозначив $u=t(t+1)$, приведём левую часть к общему знаменателю: $\frac{2u+1}{u}=\frac{25}{12}$. Отсюда $24u+12=25u$, значит, $u=12$.

Тогда $t^2+t-12=0$, то есть $(t-3)(t+4)=0$. Поэтому $t=3$ или $t=-4$, откуда $y=2$ или $y=-5$. Так как $x=y$, получаем обе пары.

Ответ: $(x;y)=(2;2), (-5;-5)$.

Решите систему: \(\begin{cases}\frac{y+1}{y+2}+\frac{y+2}{y+1}=\frac{25}{12},\\ x^2-2xy+y^2=0.\end{cases}\)