8. Решите систему неравенств \[\begin{cases}x^2 > 8x-16, \\ x^2+4 \le 5x.\end{cases}\]

Ответ: x ∈ (1; 4) ∪ (4; 4].

Решим систему неравенств:

\[\begin{cases}x^2 > 8x-16, \\ x^2+4 \le 5x.\end{cases}\]

1) Решим первое неравенство: x² > 8x - 16

x² - 8x + 16 > 0

(x - 4)² > 0

x ≠ 4

x ∈ (-∞; 4) ∪ (4; +∞)

2) Решим второе неравенство: x² + 4 ≤ 5x

x² - 5x + 4 ≤ 0

Найдем корни уравнения x² - 5x + 4 = 0:

D = (-5)² - 4 \(\cdot\) 1 \(\cdot\) 4 = 25 - 16 = 9

x_1 = (5 + \sqrt{9}) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4

x_2 = (5 - \sqrt{9}) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

Тогда: 1 ≤ x ≤ 4

x ∈ [1; 4]

3) Найдем пересечение решений:

\[\begin{cases}x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty), \\ x \in [1; 4].\end{cases}\]

x ∈ [1; 4)

x ∈ (1; 4) ∪ (4; 4].

Ответ: x ∈ (1; 4) ∪ (4; 4].